Pembahasan contoh soal penjumlahan dan selisih dua sudut

Penjumlahan dan selisih dua sudut mempunyai rumus sebagai berikut:

1. Sin (A ± B) = sin A cos B ± cos A sin B
2. cos (A ± B) = cos A cos B ∓ sin A sin B
3. tan (A ± B) = (tan A ± tan B) / (1 ∓ tan A tan B)

Untuk lebih jelasnya, pelajari pembahasan contoh soal dibawah ini:
Nomor 1
sin 165^o = ....
A. - 1/4 (√6 + √2)
B. - 1/2 (√6 + √2)
C. 1/4 (√6 + √2)
D. 1/4 (√6 - √2)
E. 1/2 (√6 + √2)

Pembahasan
sin 165^o = sin (120^o + 45).
Maka A = 120^o dan B = 45^o sehingga berdasarkan rumus nomor 1:
sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B

sin (120^o  + 45^o) = sin 120^o cos 45^o + cos 120^o sin 45^o

sin (120^o + 45^o) = 1/2 √3 . 1/2 √2 + 1/2 . 1/2 √2
sin (120^o + 45^o) = 1/4 √6 + 1/4 √2 = 1/4 (√6 + √2)
Jawaban: C

Nomor 2
Sin 105^o = ...
A. - 1/4 (√2 - √6)
B. - 1/4 (√2 + √6)
C. 1/4 (√2 - √6)
D. 1/4 (√2 + √6)
E. 1/2 (√2 - √6)

Pembahasan
sin 105^o = sin (150^o - 45^o)
Jadi A = 150^o dan B = 45^o sehingga berdasarkan rumus nomor 1
sin (A - B) = sin A cos B - cos A sin B

sin (150^o - 45^o) = sin 150^o cos 45^o- cos 150^o sin 45^o

sin (150^o - 45^o ) = 1/2  . 1/2 √2 - 1/2 √3 . 1/2 √2
sin (150^o - 45^o ) = 1/4 √2 - 1/4 √6 = 1/4 (√2 - √6)
Jawaban: C

Nomor 3
cos 195^o = ...
A. 1/4 (√6 - √2)
B. 1/2 (√6 - √2)
C. 1/2 (√6 + √2)
D. 3/4 (√6 - √2)
E. 5/4 (√6 - √2)

Pembahasan
cos 195^o = cos (150^o  + 45^o )
Jadi A = 150^o dan B = 45^o sehingga berdasarkan rumus nomor 2:
cos (A + B) = cos A cos B - sin A sin B
cos (150^o  + 45^o ) = cos 150^o cos 45^o - sin 150^o sin 45^o
cos (150^o  + 45^o ) = 1/2 √3 . 1/2 √2 - 1/2 . 1/2 √2
cos (150^o  + 45^o ) = 1/4 √6 - 1/4 √2 = 1/4 (√6 - √2)
Jawaban: A

Nomor 4
Dua buah sudut A dan B masing-masing bernilai sin A = 3/5 dan sin B = 12/13. Nilai cos (A - B) = ...
A. - 16/65
B. 5/13
C. 4/13
D. 4/5
E. 4/3

Pembahasan
Hitung terlebih dahulu cos A dan cos B
Jika sin A = 3/5 maka cos A = 4/5 (berdasarkan triple phythagoras: 3 , 4, 5)
Jika sin B = 12/13 maka cos B = 5/13 (berdasarkan triple: 5, 12, 13)
Jadi
cos (A - B) = cos A cos B - sin A sin B
cos (A - B) = 4/5 . 5/13 - 3/5 . 12/13 = 4/13 - 36/65 = - 16/65
Jawaban: A

Nomor 5
Diketahui A + B = 60^o dan cos A . cos B = 1/4, maka cos (A - B) = .....
A. - 2
B. - 1
C. 0
D. 1
E. 2

Pembahasan
Berdasarkan rumus 2, diperoleh:
cos (A + B) = cos A cos B - sin A sin B
maka:
sin A sin B = cos A cos B - cos (A + B) = 1/4 - cos 60^o
sin A sin B = 1/4 - 1/2 = - 1/4
Sehingga
cos (A - B) = cos A cos B + sin A sin B
cos (A - B) = 1/4 + (-1/4) = 0
Jawaban: C

Nomor 6
Jika tan A = 1 dan tan B = 1/3 dengan A dan B sudut lancip maka sin (A + B) = ...
A. 1/5 √20
B. 1/5 √20
C. 1/5 √20
D. 1/5 √20
E. 1/5 √20

Pembahasan
Hitung terlebih dahulu sin A, cos A, cos B dan sin B
Jika tan A = 1 = 1/1 maka sin A = 1/√2 = 1/2 . √2 dan cos A = 1/√2 = 1/2 . √2
Jika tan B = 1/3 maka sin B = 1/√10 = √10/10 dan cos B = 3/√10 = 3√10/10.
Maka:
Sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B
sin (A + B) = 1/2 . √2 . 3√10/10 + 1/2 √2 . √10/10
sin (A + B) = 3/20√20 + 1/20 √20 = 4/20 √20 = 1/5 √20