Pembahasan contoh soal jumlah dan selisih sinus cosinus

Jumlah selisih sinus dan cosinus

Hubungan jumlah dan selisih sinus cosinus sebagai berikut:

1. sin A + sin B = 2 sin 1/2 (A + B) cos 1/2(A - B)
2. sin A - sin B = 2 cos 1/2(A + B) sin 1/2(A - B)
3. cos A + cos B = 2 cos 1/2(A + B) cos 1/2(A - B)
4. cos A - cos B = - 2 sin 1/2(A + B) sin 1/2(A - B)

Untuk lebih jelasnya, pelajari pembahasan contoh soal dibawah ini:
Nomor 1
Sin 75^o + sin 15^o = ...
A. - 1/2
B. 0
C. 1/2√2
D. 1/2√3
E. 1/2 √6

Pembahasan
Diketahui:
A = 75^o
B = 15^o
Maka berdasarkan rumus nomor 1
sin A + sin B = 2 sin 1/2 (A + B) cos 1/2(A - B)
sin 75^o + sin 15^o = 2 sin 1/2 (75^o + 15^o ) cos 1/2 (75^o - 15^o )
sin 75^o + sin 15^o = 2 sin 45^o cos 30^o = 2 . 1/2 √2 . 1/2 √3 = 1/2 √6
Jawaban: E

Nomor 2
cos 105^o - cos 15^o = ...
A. - 1
B. 1/2
C. 1/2 √6
D. 1
E. 2

Pembahasan
Diketahui:
A = 105^o
B = 15^o
Maka berdasarkan rumus 4:
cos A - cos B = - 2 sin 1/2 (A + B) sin 1/2 (A - B)
cos 105^o - cos 15^o = - 2 sin 1/2 (105^o + 15^o ) sin 1/2 (105^o - 15^o )
cos 105^o - cos 15^o = 2 sin 60^o sin 45^o = 2 . 1/2√3 . 1/2 √2 = 1/2 √6
Jawaban: C

Nomor 3
cos 145^o + cos 35^o + sin 30^o = ....
A. - 1
B. 0
C. 1/2
D. 2
E. 4

Pembahasan
(cos 145^o + cos 35^o ) + sin 30^o
Jadi A = 145^o dan B = 35^o , maka berdasarkan rumus 3:
(cos A + cos B) + sin 30^o = 2 cos 1/2 (A + B) cos 1/2 (A - B) + sin 30^o
(cos 145^o + cos 35^o ) + sin 30^o = 2 cos 1/2 (145^o + 35^o ) cos 1/2 (145^o - 35^o ) + 1/2
(cos 145^o + cos 35^o ) + sin 30^o = 2 cos 90^o cos 55^o + 1/2 = 2 . 0 . cos 55^o + 1/2 = 1/2
Jawaban: C

Nomor 4
(cos 140^o - cos 100^o ) / (sin 140^o - sin 100^o ) = ....
A. - 1/3
B. 0
C. 1/2
D. √2
E. √3

Pembahasan
cos 140^o - cos 100^o = - 2 sin 1/2 (140^o + 100^o) sin 1/2 (140^o - 100^o)
cos 140^o - cos 100^o = - 2 sin 120^o sin 20^o

sin 140^o - sin 100^o = 2 cos 1/2 (140^o + 100^o ) sin 1/2 (140^o - 100^o )
sin 140^o - sin 100^o = 2 cos 120^o sin 20^o
Jadi
(cos 140^o - cos 100^o) / (sin 140^o - sin 100^o ) = - 2 sin 120^o sin 20^o / 2 cos 120^o sin 20^o
(cos 140^o - cos 100^o ) / (sin 140^o - sin 100^o ) = - sin 120^o / cos 120^o = - tan 120^o = √3
Jawaban: E

Nomor 5
Jika cos x = 4/5 untuk 0 < x < 90^o maka nilai sin 3x + sin x = ....
A. 12/25
B. 24/25
C. 54/125
D. 82/125
E. 192/125

Pembahasan
Hitung terlebih dahulu sin x
Jika cos x = 4/5 maka sin x = 3/5 (berdasarkan triple 3, 4, 5)
Jadi sin 3x + sin x berarti A = 3x dan B = x, berdasarkan rumus 1:
sin A + sin B = 2 sin 1/2 (A + B) cos 1/2(A - B)
sin 3x + sin x = 2 sin 1/2 (3x + x) cos 1/2(3x - x)
sin 3x + sin x = 2 sin 2x cos x = 2 (2 sin x . cos x) cos x
sin 3x + sin x = = 4 . 3/5 . 4/5 . 4/5 = 192/125
Jawaban: E